什么是导数？
导数是微积分的核心概念，描述函数在某一点的瞬时变化率，一阶导数即函数的一阶变化率，反映函数图像的切线斜率，位移函数的导数是速度,速度函数的导数是加速度。

求一阶导数的基本方法

1. 定义法
   通过极限定义直接计算：
   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
   示例：求 ( f(x) = x^2 ) 的导数：
   [ f'(x) = \lim{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x. ]
   适用于简单函数,但复杂函数计算繁琐。

2. 公式法（常见函数导数表）

   • 幂函数：( (x^n)' = nx^{n-1} )（如 ( (x^3)' = 3x^2 )）
   • 指数函数：( (e^x)' = e^x )，( (a^x)' = a^x \ln a )
   • 对数函数：( (\ln x)' = \frac{1}{x} )，( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} )
   • 三角函数：( (\sin x)' = \cos x )，( (\cos x)' = -\sin x )

3. 求导法则

   • 加减法则：( (u \pm v)' = u' \pm v' )
   • 乘法法则：( (uv)' = u'v + uv' )（如 ( (x \sin x)' = \sin x + x \cos x )）
   • 除法法则：( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )（如 ( \left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2} )）
   • 链式法则（复合函数）：( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} )
     示例：求 ( \sin(2x) ) 的导数：
     设 ( u = 2x )，则 ( \frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot 2 = 2\cos(2x) )。

隐函数与参数方程的导数

1. 隐函数求导
   对方程两边同时求导，解出 ( y' )。
   示例：求 ( x^2 + y^2 = 1 ) 的导数：
   两边求导得 ( 2x + 2y y' = 0 )，解得 ( y' = -\frac{x}{y} )。

2. 参数方程求导
   若 ( x = x(t) ), ( y = y(t) )，则 ( \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} )。
   示例：求 ( x = \cos t ), ( y = \sin t ) 的导数：
   ( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t )。

高阶导数与微分应用
一阶导数的导数称为二阶导数（如加速度是速度的导数），导数在优化、物理建模（如牛顿第二定律）和经济学（边际分析）中有广泛应用。

常见误区与注意事项

• 忽略链式法则：复合函数必须逐层求导。
• 符号错误：如 ( (\cos x)' = -\sin x ) 易漏负号。
• 定义域限制：如 ( \ln x ) 的导数仅在 ( x > 0 ) 时存在。

掌握一阶导数的计算是微积分的基础，通过定义法、公式法和求导法则，结合练习，可快速求解各类函数的导数，理解其几何意义（切线斜率）和物理意义（变化率）能深化应用能力。