在三角函数中，sin15°是一个常见的特殊角度，其值可以通过几何方法或三角恒等式精确求出，结果包含根号表达式，本文将详细推导sin15°的值，并解释其背后的数学原理。

sin15°的精确值

sin15°的精确值为：
[ \sin15° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]
这一结果可以通过以下两种方法推导得出。

推导方法1：角度差公式

利用正弦差公式：
[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B ]
将15°拆解为45°与30°的差（即15° = 45° - 30°），代入公式：
[ \sin15° = \sin(45° - 30°) = \sin45° \cos30° - \cos45° \sin30° ]
已知：
[ \sin45° = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin30° = \frac{1}{2}, \quad \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
代入计算：
[ \sin15° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

推导方法2：半角公式

15°也可视为30°的一半，利用半角公式：
[ \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} ]
令θ = 30°，则：
[ \sin15° = \sqrt{\frac{1 - \cos30°}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} ]
这一形式与之前的答案不同，但可通过有理化证明两者等价：
[ \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin15° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

几何构造法

通过几何图形也能验证sin15°的值，构造一个包含15°角的直角三角形，利用勾股定理和相似三角形关系逐步求解，最终结果与上述一致。

应用场景

sin15°的值在工程、物理和计算机图形学中均有应用，

1. 斜抛运动：计算初速度分量时可能需要分解15°角。
2. 信号处理：傅里叶变换中涉及特殊角度的正弦值。
3. 建筑设计：斜坡或桁架的角度计算。

常见误区

1. 记忆混淆：易与sin75°（= (√6 + √2)/4）混淆，需注意符号差异。
2. 近似值误区：sin15° ≈ 0.2588，但精确值应保留根号形式。

通过多种方法均可证明，sin15° = (√6 - √2)/4，理解其推导过程不仅能巩固三角恒等变换的知识，还能提升解决实际问题的能力，建议结合几何图形与代数推导，加深对这一特殊角度值的印象。

扩展思考：尝试用类似方法推导cos15°或tan15°的值,进一步探索三角函数的奥秘！