循环小数如何化成分数？

在数学中，小数可以分为有限小数和无限小数，而无限小数又分为无限不循环小数（如π）和无限循环小数（如0.333…），循环小数是指小数部分有一个或几个数字按一定规律无限重复的数。

• 333…（写作0.\overline{3}）
• 142857142857…（写作0.\overline{142857}）

这类小数可以精确地转化为分数，下面我们就来详细讲解转化的方法。

纯循环小数的分数化

纯循环小数是指循环节从小数点后第一位就开始的小数，例如0.\overline{3}、0.\overline{142857}，转化方法如下：

步骤：

1. 设循环小数为( x )。
2. 根据循环节的位数乘以相应的10的幂次。
3. 两式相减消去循环部分，解方程得到分数。

示例1：0.\overline{3} 化分数

1. 设 ( x = 0.\overline{3} = 0.333… )
2. 循环节有1位，乘以10：( 10x = 3.333… )
3. 两式相减：( 10x - x = 3.333… - 0.333… ) → ( 9x = 3 ) → ( x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} )

示例2：0.\overline{142857} 化分数

1. 设 ( x = 0.\overline{142857} )
2. 循环节有6位，乘以( 10^6 = 1000000 )：( 1000000x = 142857.142857… )
3. 相减：( 1000000x - x = 142857 ) → ( 999999x = 142857 ) → ( x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7} )

混循环小数的分数化

混循环小数是指小数点后有不循环的部分，然后才开始循环的小数，例如0.16\overline{6}、0.23\overline{45}，转化方法如下：

步骤：

1. 设混循环小数为( x )。
2. 根据不循环位数和循环位数分别乘以10的幂次。
3. 相减消去循环部分，解方程得到分数。

示例1：0.16\overline{6} 化分数

1. 设 ( x = 0.16\overline{6} = 0.1666… )
2. 不循环部分1位，循环部分1位，先乘10：( 10x = 1.666… )
   再乘100：( 100x = 16.666… )
3. 相减：( 100x - 10x = 16.666… - 1.666… ) → ( 90x = 15 ) → ( x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} )

示例2：0.23\overline{45} 化分数

1. 设 ( x = 0.23\overline{45} = 0.23454545… )
2. 不循环部分2位，循环部分2位，先乘100：( 100x = 23.454545… )
   再乘10000：( 10000x = 2345.454545… )
3. 相减：( 10000x - 100x = 2345.454545… - 23.454545… ) → ( 9900x = 2322 ) → ( x = \frac{2322}{9900} = \frac{129}{550} )

总结规律

1. 纯循环小数：分母由与循环节位数相同的9组成，分子为循环节数字。

   如 ( 0.\overline{abc} = \frac{abc}{999} )

2. 混循环小数：分母由不循环位数个0和循环位数个9组成，分子为整个小数部分减去不循环部分。

   如 ( 0.ab\overline{cd} = \frac{abcd - ab}{9900} )

实际应用

循环小数化分数在数学计算、方程求解、分数比较等方面非常有用。

• 比较 ( 0.\overline{6} ) 和 ( \frac{2}{3} )：( 0.\overline{6} = \frac{2}{3} )，两者相等。
• 解方程 ( 0.\overline{x} = \frac{1}{3} )，可快速得到 ( x = 3 )。

掌握这一技巧，能让你在数学运算中更加高效！

循环小数化分数并不难，只要记住规律，多加练习，就能轻松掌握，无论是纯循环还是混循环，都可以通过简单的代数方法转化为分数,让数学计算变得更清晰！